Introducción.
En el post anterior, decíamos que la
gravitación de Newton y el principio de incertidumbre de Heisenberg son dos
aspectos diferentes de la misma fórmula.
Ambas fórmulas han sido obtenidas en épocas distintas y por métodos dispares.
Veamos que
dice la wikipedia:
La ley de gravitación
universal es una ley física clásica que describe la interacción
gravitatoria entre distintos cuerpos con masa. Ésta fue presentada por Isaac
Newton en su libro Philosophiae
Naturalis Principia Mathematica, publicado en 1687, donde establece por primera vez una relación cuantitativa
(deducida empíricamente de la observación) de la fuerza con que se atraen dos
objetos con masa. Así
“la fuerza ejercida entre dos cuerpos de masas
m1 y m2 separados una distancia
es proporcional al producto de sus masas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, es decir: “
donde
F
es el módulo de la fuerza ejercida entre ambos
cuerpos, y su dirección se encuentra en el eje que une ambos cuerpos.
G es la constante de la Gravitación
Universal.
El principio
de incertidumbre de Heisenberg
establece la imposibilidad de que determinados pares de magnitudes físicas sean
conocidas con precisión arbitraria. Sucintamente, afirma que no se puede
determinar, en términos de la física cuántica, simultáneamente y con precisión
arbitraria, ciertos pares de variables físicas, como son, la posición y el
momento lineal (cantidad de movimiento) de un objeto dado. En otras palabras,
cuanta mayor certeza se busca en determinar la posición de una partícula, menos
se conoce su cantidad de movimientos lineales y, por tanto, su masa y
velocidad. Este principio fue enunciado por Werner Heisenberg en 1925.
matemáticamente
se expresa como: 
donde
la h es la constante de Planck
(para simplificar, h/2π suele escribirse como ℏ
La indeterminación de Heisenberg es aplicable a otros pares de variables
físicas, tales como energía y tiempo. En este caso:
En
el límite (producto mínimo),
ecuación idéntica a la
energía de Planck,
salvo
por el factor ½. En donde Ep es la energía de Planck y tp es el tiempo de Planck.
La energía de Planck se
puede poner como:
La
incertidumbre no se deriva de los instrumentos de medida, sino del propio hecho
de medir.
Hasta ahora el principio era medible sólo en la escala
subatómica, donde las reglas de la mecánica cuántica son más evidentes y
decisivas.
Recientemente se ha conseguido detectar los efectos del
principio de incertidumbre en un objeto macroscópico en concreto, en un pequeño
tambor de medio milímetro de longitud.
[1]
Pero el principio desaparece cuando se
le aplica a la gravedad, a
pesar de que la ley de la gravitación de Newton se deduce del principio de
incertidumbre de Heisenberg.
La ley de la gravitación de Newton, se
deduce de la observación, mientras que la relación de indeterminación de Heisenberg se deduce de los postulados de
la mecánica cuántica
Fluctuación cuántica.
Como consecuencia de esa
incertidumbre en la medida simultánea del par de variables complementarias
aparece, lo que en física cuántica se denomina fluctuación cuántica
Una fluctuación cuántica es una
variación temporal en la cantidad de energía en un punto determinado del
espacio. Es decir, puedo tener una energía E, durante el tiempo
t, siempre
y cuando el producto de ambas sea igual o inferior a ℏ
⁄2.
Si multiplicamos ambos miembros de la ecuación (4) por la velocidad de
la luz, y teniendo en cuenta que E=mc2,
resulta
siendo λ=2ct, lo que indica que cualquier partícula
tiene que tener un momento menor o igual a ℏ. Por otra parte la
constante de Planck ℏ, la podemos poner en
función de las condiciones de Planck, como:
Siendo mp y λp
la masa y longitud de onda de
Planck, respectivamente. Combinando las ecuaciones (8) y (9), resulta:
la ecuación anterior, no es más que la
longitud de onda Compton reducida, expresada en forma de desigualdad.
Elevando al
cuadrado (Ec. 10) y multiplicando por la constante de gravitación G, resulta:
La
longitud de onda Compton
reducida λ, es la distancia a la cual dos masas de Planck mp, ejercen
la misma fuerza gravitatoria que dos masas
m, supuestamente puntuales, separadas una distancia igual a
la longitud de onda de Planck 
Figura 1. Longitud de Onda Compton reducida.
Teniendo en cuenta que, la expansión
del Universo es equivalente a multiplicar el denominador de ambos términos por
la constante a2, siendo ,
con
lo que la ecuación (12) queda:
Con lo que en la ecuación de la
gravitación de Newton, desaparece la relación con el principio de incertidumbre
de Heisenberg.
la ley de
la gravitación de Newton,
sólo es válida para masas en reposo
Resulta curioso que desde que Isaac
Newton presentara la ley de la Gravitación
Universal, hasta nuestros días, nadie haya comentado que se trata de una ley,
únicamente válida para masas en reposo.
Precisamente, como
sólo es válida, para masas en reposo, falla cuando se intenta aplicar al
perihelio de Mercurio, o a la desviación del fotón en el seno de un campo gravitatorio. Falta el término
correspondiente a la cantidad de movimiento mv, el cual, si que está e incluido en la ecuación de campo de
Einstein.
Conclusión.
La
Indeterminación de Heisenberg y la Gravitación de Newton
son dos aspectos diferentes
de la misma fórmula.
La Gravitación de Newton sólo es válida para masas en reposo, de ahí que
algunos caso falle, al no tener en cuenta la energía total de la masa (reposo y
movimiento
La
ley de la gravitación de Newton y el principio de incertidumbre de Heisenberg,
son la misma fórmula, pero obtenidas por métodos dispares, en épocas distintas
y que expresan conceptos diferentes
En MC, la longitud de onda Compton
reducida es una representación de la
masa, y aparece en muchas de las ecuaciones de la MC, como por ejemplo en la ecuación de Schrodinger.
Podemos considerar la longitud de onda Compton
reducida λ, como la distancia mínima a la cual
podemos medir y considerar que la masa es m.
Figura
2.- Distancia mínima a la cual m es constante.
Referencias
[1] T. P.
Purdy,_ R. W. Peterson, and C. A. Regal. Observation
of Radiation Pressure Shot Noise on a Macroscopic Object. Science: Vol. 339 no. 6121 pp. 801-804 (2013).
