Espacio-Tiempo Relativista (I). Dilatación Temporal
Introducción.
En 1905 Albert Einstein formuló la teoría de la relatividad especial, para ello se basó en
dos hipótesis
- Todas las leyes de la física son válidas para todos los sistemas inerciales.
- La velocidad de la luz en el vacío es igual para todos los observadores y es independiente del estado de movimiento de la fuente.
Figura 3. Sistema de referencia inerciales.
Consideremos dos sistemas de referencia inerciales O y O’, tales
que O’ se mueve en la
dirección x con velocidad v respecto de O.
a) Dilatación temporal.
El sistema de referencia O, que mide
una coordenada temporal t, aprecia una dilatación del tiempo t respecto a la
coordenada temporal t’ medida por O’.
b) Paradoja de los gemelos.
El primero de los
gemelos viaja en una nave espacial a una velocidad v=0,8c siendo c la velocidad de la luz; el otro gemelo se queda en
la Tierra durante 1 año medido en la tierra (t).
El gemelo viajero habrá
envejecido un tiempo:
La paradoja surge porque al gemelo de
la nave le habrá parecido que la Tierra se ha movido con gran velocidad
respecto a él, y por lo tanto el reloj terrestre debe haberse retrasado y por
lo tanto, su hermano en la Tierra es más joven que él. Es decir, ambos piensan
que su hermano es el más joven.
En realidad no hay tal paradoja, ya que el sistema de
referencia de la nave no es inercial, en cambio, suponer que el sistema de
referencia de la tierra es un observador inercial es una muy buena
aproximación.
Comprobaciones
de la dilatación temporal.
La dilatación temporal se ha comprobado con gran precisión
mediante multitud de experimentos.
En
1971, se realizaron vuelos alrededor del mundo en ambas direcciones. Se sincronizaron
relojes atómicos de cesio. Después de unos días compararon los relojes en vuelo
con el reloj del observatorio en Washington. Los relojes en movimiento
alrededor de la tierra habían ganado unos 0,15 microsegundos comparados con el
reloj establecido en la tierra
Recientemente
científicos alemanes usaron iones de litio para comprobar la dilatación
temporal. Para ello, midieron la
frecuencia de las transiciones de los electrones dentro de los iones en reposo y luego aceleraron los iones a un
tercio de la velocidad de la luz. De esta forma
compararon el nuevo ritmo con las transiciones dentro de los iones
estacionarios. La frecuencia de las transiciones es equivalente al tic-tac del
reloj.
Universo
en expansión. ¿Qué es el tiempo?
Suponemos que estamos en un espacio de 4 dimensiones (4D) que
se expande a la velocidad de la luz. O lo que es lo mismo, todo el universo se
mueve a la velocidad de la luz, en la dirección radial (fig. 4a). Lo que
implica que la distancia entre a y b aumente con el tiempo (fig. 4b).
Figura 4. Expansión del universo a la velocidad de la
luz
Todos los puntos se alejan de un observador situado en el
punto a con una velocidad
proporcional a la distancia. Lo mismo vería un observador situado en el punto b o en cualquier otro punto del universo
Podemos definir el tiempo como: la variación del espacio con
la velocidad de la luz c.
Por lo tanto, para un
observador situado en a, sus ejes son
u y r, En cambio para un observador situado en b, sus ejes son u’ y r’ (fig. 5b).
La ecuación general de la circunferencia (fig.5) que se
expande con el tiempo es:
Derivando dos veces con respecto al tiempo y suponiendo nulas
las aceleraciones, resulta:
En donde vu
es la velocidad en la cuarta dimensión y v la velocidad en el espacio. De donde:
Ecuación idéntica a la ec. (3) de El Continuo Espacio-Tiempo es Discreto (I), en donde se ha
cambiado la velocidad del tren vr por la velocidad de la luz c, la
velocidad vx por v, la velocidad vy por vu y
los ejes x e y por r y u respectivamente.
Figura 5. Movimiento en el espacio 4D.
El observador en reposo, se mueve a la velocidad de la luz c, en la dirección del eje u, mientras
que le observador en movimiento se mueve a la velocidad vu en la dirección u
y v en la dirección x de r(x,y,z). La suma vectorial de ambas velocidades es la velocidad de la luz.
En un universo en expansión todo se mueve
a la velocidad de
la luz.
El observador en reposo, recorre una distancia d en la dirección u:
Mientras que el observador en movimiento, recorre una
distancia d’ en la dirección u, tal que:
Pero al no disponer de referencias externas en la cuarta
dimensión, no podemos observar el movimiento en esa dimensión, solo
podemos medir el tiempo transcurrido.
Por lo tanto cada observador medirá un tiempo distinto (ec. (18) y (19)), de acuerdo con la distancia
recorrida en la dirección del eje u,
que será:
Lo que ocurre es que cada observador, reposo o movimiento,
mide el tiempo como la distancia recorrida en la dirección u, dividida por la velocidad de la luz c, pero sin tener en cuenta
la distancia recorrida en el espacio. Es decir, nuestros aparatos miden el
tiempo y el espacio independientemente uno del otro, cuando lo que hay que
medir es la distancia total recorrida en el espacio-tiempo. Por una parte se
mide el tiempo, y luego el espacio recorrido en función de ese tiempo.
La relatividad especial
lo que hace es relacionar los tiempos de cada observador en movimiento (t’) con
respecto al tiempo medido en la tierra (t) y suponer que este es el tiempo
correcto, válido para todo el universo. Esto supone una visión antropocéntrica
y egocéntrica, somos el centro del universo y todo gira alrededor nuestro,
cuando lo que hay que medir es el tiempo total en el espacio-tiempo
La ecuación (13), nos indica que el tiempo es bidimensional,
tenemos un tiempo en la cuarta dimensión que es el que observamos y medimos
como tiempo y un tiempo en el espacio o tiempo espacial, que observamos y
medimos como espacio. La suma vectorial de ambos tiempos nos da un tiempo
universal (t en la ec. (13)) que es idéntico para cada observador,
independientemente de su estado de reposo o movimiento.
Hay que tener presente que en 1905, se creía el espacio era
estático y por lo tanto r(x,y,z)=cte. Pero en cambio, la edad del universo o el
tiempo era variable, es decir t=u/c.
La relatividad lo que hace es tomar una superficie esférica
tridimensional, sin tener en cuenta la expansión del universo, lo que supone
hacer ct=0 en la ecuación (13), es decir, universo estático sin expansión.
Tiempo
en el espacio-tiempo
Supongamos que uno de los gemelos se mueve a la velocidad v=0,8c, respecto de la tierra, durante 5
segundos.
a)
observador en reposo.
Para el observador en reposo, sus ejes de referencia
coinciden con los del jefe de estación. Se mueve en la dirección u durante cinco segundos a la velocidad
de la luz, por lo tanto:
Luego la distancia L recorrida en el espacio-tiempo será:
Y la nave habrá recorrido en el espacio una distancia:
Para el observador en reposo han pasado 5s y la nave está a
4s luz en el espacio
b) el
observador en movimiento (pasajero del tren) a la velocidad v=0,8c, mide 3s.
Primeramente se calcula la velocidad (vu) en la
cuarta dimensión, a continuación el tiempo total en el espacio-tiempo (ec. 26)
y finalmente las distancias recorridas en la cuarta dimensión (u) y en le
espacio (d o x) (ec. 27).
Y la distancia L, recorrida en el espacio tiempo, será:
Luego ambos gemelos recorren la misma distancia en el
espacio-tiempo. El gemelo en reposo, se mueve solo en el tiempo (5s luz en la
cuarta dimensión) y ve al gemelo en reposo
situado a 4s luz en el espacio y a 3s en el tiempo, lo que implica que
se ha movido a la velocidad de la luz durante 5s (Fig. 6a). El gemelo en
movimiento se mueve en el espacio (4s) y en el tiempo (3s), o que implica que se mueve en el espacio-tiempo a
la velocidad de la luz durante 5s (Fig. 6b).
Figura 6. Situación de
la nave según el observador. a) Obs. en reposo. b) Obs. en movimiento, según el
modelo del Universo 4D desarrollado en
este Blog.
Si el
observador en movimiento, al tiempo medido (t') en movimientoen la cuarta dimensión,
suma vectorialmente el tiempo debido al movimiento en el espacio (ec. 25 y 26), resulta que lel tiempo o la
distancia recorrida en el espacio-tiempo para el observador en movimiento coincide con el tiempo (t) o la distancia recorrida
para el observador en reposo.
Siendo:
En
este caso observador en reposo y en movimiento miden lo mismo.
Hay que
tener en cuenta que en 1905, se suponía que el espacio era estático y el tiempo
absoluto.
La
relatividad especial lo que hace es fijar
el
tiempo en la tierra como absoluto.
“Lo que mido aquí en la tierra es la medida correcta”
(según
la física actual)
y
luego referenciar el tiempo en movimiento (tiempo relativo) al tiempo absoluto
medido en la tierra.
Lo
que se debería hacer es buscar una referencia válida para cualquier observador
que este en reposo o en movimiento, de forma que todos midan lo mismo
independientemente del estado de movimiento o reposo de uno con respecto al
otro.
