lunes, 3 de noviembre de 2014

Deducción de la Ley de la Gravitación de Newton a partir del Principio de Incertidumbre de Heisenberg


Introducción.
En el post anterior, decíamos  que la gravitación de Newton y el principio de incertidumbre de Heisenberg son dos aspectos diferentes de  la misma fórmula. Ambas fórmulas han sido obtenidas en épocas distintas y  por métodos dispares.

Veamos que dice  la wikipedia:
La ley de gravitación universal es una ley física clásica que describe la interacción gravitatoria entre distintos cuerpos con masa. Ésta fue presentada por Isaac Newton en su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, publicado en 1687, donde establece por primera vez una relación cuantitativa (deducida empíricamente de la observación) de la fuerza con que se atraen dos objetos con masa. Así
“la fuerza ejercida entre dos cuerpos de masas m1 y m2 separados una distancia  es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, es decir: “
 
donde
F  es el módulo de la fuerza ejercida entre ambos cuerpos, y su dirección se encuentra en el eje que une ambos cuerpos. 

G es la constante de la Gravitación Universal.
 
El principio de incertidumbre de Heisenberg establece la imposibilidad de que determinados pares de magnitudes físicas sean conocidas con precisión arbitraria. Sucintamente, afirma que no se puede determinar, en términos de la física cuántica, simultáneamente y con precisión arbitraria, ciertos pares de variables físicas, como son, la posición y el momento lineal (cantidad de movimiento) de un objeto dado. En otras palabras, cuanta mayor certeza se busca en determinar la posición de una partícula, menos se conoce su cantidad de movimientos lineales y, por tanto, su masa y velocidad. Este principio fue enunciado por Werner Heisenberg en 1925.
matemáticamente se expresa como:
 
donde la h es la constante de Planck (para simplificar, h/2π suele escribirse como

La indeterminación de Heisenberg es aplicable a otros pares de variables físicas, tales como energía y tiempo. En este caso:


En el límite (producto mínimo),
 
ecuación idéntica a la energía de Planck,
 
 salvo por el factor ½. En donde Ep es la energía de Planck y tp es el tiempo de Planck.

La energía de Planck se puede poner como:
 

La incertidumbre no se deriva de los instrumentos de medida, sino del propio hecho de medir.
Hasta ahora el principio era medible sólo en la escala subatómica, donde las reglas de la mecánica cuántica son más evidentes y decisivas.

Recientemente se ha conseguido detectar los efectos del principio de incertidumbre en un objeto macroscópico en concreto, en un pequeño tambor de medio milímetro de longitud. [1] 

Pero el principio desaparece cuando se le aplica a la gravedad, a pesar de que la ley de la gravitación de Newton se deduce del principio de incertidumbre de Heisenberg.

La ley de la gravitación de Newton, se deduce de la observación, mientras que la relación de indeterminación de Heisenberg se deduce de los postulados de la mecánica cuántica

Fluctuación cuántica.
Como consecuencia de esa incertidumbre en la medida simultánea del par de variables complementarias aparece, lo que en física cuántica se denomina fluctuación cuántica
 
Una fluctuación cuántica es una variación temporal en la cantidad de energía en un punto determinado del espacio. Es decir, puedo tener una energía E, durante el tiempo t, siempre y cuando el producto de ambas sea igual o inferior a ℏ ⁄2.     

 
Si multiplicamos ambos miembros de la ecuación (4) por la velocidad de la luz, y teniendo en cuenta que E=mc2, resulta
 
 siendo λ=2ct, lo que indica que cualquier partícula tiene que tener un momento menor o igual a ℏ. Por otra parte la constante de Planck , la podemos poner en función de las condiciones de Planck, como:
 
Siendo mp y λp la masa y longitud de onda de Planck, respectivamente. Combinando las ecuaciones (8) y (9), resulta:

 

la ecuación anterior, no es más que la longitud de onda Compton reducida, expresada en forma de desigualdad.
 
Elevando al cuadrado (Ec. 10) y multiplicando por la constante de gravitación G, resulta:
 

La longitud de onda Compton reducida λ, es la distancia a la cual dos masas de Planck mp, ejercen la misma fuerza gravitatoria que dos masas m, supuestamente puntuales, separadas una distancia igual a la longitud de onda de Planck 
 
Figura 1. Longitud de Onda Compton reducida.

Teniendo en cuenta que, la expansión del Universo es equivalente a multiplicar el denominador de ambos términos por la constante a2siendo ,  
 
con lo que la ecuación (12) queda:
Con lo que en la ecuación de la gravitación de Newton, desaparece la relación con el principio de incertidumbre de Heisenberg. 

Como en el principio de incertidumbre de Heisenberg, se ha utilizado la energía en reposo, por lo tanto, resulta evidente, que  

la ley de la gravitación de Newton, 
sólo es válida para masas en reposo




Resulta curioso que desde que Isaac Newton presentara la ley de la Gravitación Universal, hasta nuestros días, nadie haya comentado que se trata de una ley, únicamente válida para masas en reposo.
 
Precisamente, como sólo es válida, para masas en reposo, falla cuando se intenta aplicar al perihelio de Mercurio, o a la desviación del fotón en el seno de  un campo gravitatorio. Falta el término correspondiente a la cantidad de movimiento mv, el cual, si que está e incluido en la ecuación de campo de Einstein.


Conclusión.

La Indeterminación de Heisenberg y la Gravitación de Newton 
son dos aspectos diferentes de la misma fórmula.
 
La Gravitación de Newton sólo es válida para masas en reposode ahí que algunos caso falle, al no tener en cuenta la energía total de la masa (reposo y movimiento




La ley de la gravitación de Newton y el principio de incertidumbre de Heisenberg, son la misma fórmula, pero obtenidas por métodos dispares, en épocas distintas y que  expresan conceptos diferentes

En MC, la longitud de onda Compton reducida  es una representación de la masa, y aparece en muchas de las ecuaciones de la MC,  como por ejemplo en la ecuación de Schrodinger.



Podemos considerar la longitud de onda Compton reducida λ, como la distancia mínima a la cual podemos medir y considerar que la masa es m.





Figura 2.- Distancia mínima a la cual m es constante.

Referencias
[1]  T. P. Purdy,_ R. W. Peterson, and C. A. Regal. Observation of Radiation Pressure Shot Noise on a Macroscopic Object. Science: Vol. 339 no. 6121 pp. 801-804 (2013).

























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